摘要

本报告聚焦于连续时间量子行走（Continuous-Time Quantum Walks, CTQWs）相关研究，扩展前述量子神经网络（QNNs）调研，强调其在机器学习和神经网络应用中的潜力。CTQWs作为量子力学框架，利用连续演化模拟复杂动态，受薛定谔方程启发，可用于状态准备、优化和图任务。我们回顾2020-2025年关键研究，探讨CTQWs构建或增强QNNs的可能性，包括与深度神经网络（DNNs）的混合，以及在图像分割、拓扑识别和量子演化预测中的应用。尽管面临噪声和实现挑战，CTQWs可提供量子优势，如指数级并行性和噪声鲁棒性 [1][9][7][10][5].

1. 引言与历史背景

连续时间量子行走（CTQWs）由Farhi和Gutmann于1998年提出，作为量子随机行走的连续变体，与离散时间量子行走（DTQWs，如coined quantum walks）不同，其演化由哈密顿量连续驱动，类似于薛定谔方程的形式：iħ ∂ψ/∂t = Hψ，其中H基于图的邻接矩阵 [7]。这使得CTQWs天然适合模拟量子动态，而非依赖硬币操作的离散步。2020-2025年研究扩展CTQWs至机器学习领域，如图表示学习和优化，部分受NISQ（Noisy Intermediate-Scale Quantum）设备进步驱动 [3][4]. 与QNNs整合的潜力在于CTQWs的相干传播可模拟神经元动态，提供高维表示空间，潜在超越经典神经网络在复杂任务中的效率 [9].

2. CTQWs相关研究综述

近期研究强调CTQWs在量子模拟和机器学习中的应用：

• 模拟量子演化：2025年CTQW-ML框架使用CTQWs模拟一维谐振子势下的薛定谔方程，通过有限差分离散化空间域，构建哈密顿量H = K + V（动能+势能），并应用演化算符U(t) = e^{-iHt}生成波函数概率分布。随后，LSTM神经网络训练于这些数据，预测|ψ(x,t)|^2，展示高精度再现波包振荡和复兴 [1]. 这证明CTQWs可作为量子动态的数值求解器，与ML结合加速预测。
• 图任务与GNN整合：2024年CTQW-GraphSAGE模型将CTQWs嵌入GraphSAGE框架，使用量子特征映射计算邻居聚合权重，提升节点分类性能。该混合模型在基准数据集上与经典GNN相当，突出量子-经典协同在图学习中的优势 [9]. 类似，2023年研究应用CTQWs于加权图中心性测试，模拟量子传播以识别关键节点 [10].
• 图像处理应用：2019年算法使用CTQWs进行图像分割，将图像转化为加权图，种子像素初始化叠加态，通过H = γA（A为权重矩阵）演化概率分布。CTQW-LD（极限分布）和CTQW-OS（单次测量）变体实现高精度分割，与经典随机行走相当，可扩展至量子硬件 [5].
• 拓扑识别：2019年方法结合CTQWs和DNN识别量子材料的拓扑相，使用二维自旋-轨道晶格模型，演化初始局部粒子生成密度分布（位置和动量空间）。DNN（带外部内存）分类Chern数，准确率达97.4%（动量空间），噪声鲁棒 [6].
• 优化与状态准备：2025年工作使用动态图上的CTQWs高效准备稀疏量子态，适用于ML中的数据编码 [3]. 2024年研究优化MAX-CUT问题，通过调整CTQWs参数实现热起始，提高量子算法性能 [2].
• ML工具与分析：QWAK工具包支持CTQWs模拟，用于运输属性分析和ML应用 [8]. 2023年研究使用ML区分量子行走的局部化和去局部化 [7].

3. 使用CTQWs构建量子神经网络的可能性

CTQWs提供构建QNNs的独特途径，其连续演化可模拟神经连接的动态传播，潜在实现高效的量子表示学习：

• 作为神经层：CTQWs可充当QNN中的传播层，通过哈密顿演化处理输入数据，实现并行特征提取。CTQW-ML使用CTQWs生成数据训练LSTM，暗示可逆向：QNN参数化H以优化演化，类似变分量子电路但连续时间，提供更自然的量子动态模拟 [1]. 在图QNNs中，CTQWs可增强节点嵌入，处理高维图数据，潜在指数加速聚类或分类 [9].
• 混合模型：与DNN结合，如拓扑识别方法，使用CTQWs生成特征输入DNN分类，桥接量子模拟与经典学习 [6]. 这可扩展至全量子QNNs，其中CTQWs演化量子态，测量反馈优化参数，减少梯度消失问题。
• 应用扩展：在图像分割中，CTQWs处理像素图，潜在集成QNNs进行端到端学习 [5]. 对于预测量子优势，CNN分析量子行走数据，暗示CTQWs可训练QNNs评估自身性能 [4]. 多参数估计CTQWs哈密顿参数，可优化QNN训练 [0].

可能性包括：（1）噪声鲁棒QNNs，利用CTQWs的相干性；（2）高效状态准备，提升QNN初始化；（3）量子优化，如组合问题求解 [3]. 需开发统一框架整合CTQWs与电路基QNNs。

4. 优势、挑战与比较

优势：CTQWs提供连续动态，避免离散硬币操作的复杂性；高噪声鲁棒性，适合NISQ；ML整合加速模拟，如LSTM预测演化 [1][6].